一、线性方程组和矩阵
线性方程组
a11x1+···+a1nxn=b1
···
am1x1+···+amnxn=bn
几何解释：n个m维空间相互交叠产生的公共区域
线性方程组
↓
矩阵（增广矩阵）
变换
对换
数乘
倍加
初等变换后解不变
线性方程组求解方法：化简为接阶梯矩阵
矩阵运算
加法
数乘
乘法*不满足交换律
转置：T 对于对称矩阵，有A=AT
逆运算
分块
可逆矩阵
对于可逆矩阵A，存在逆矩阵A-1，有AA-1=A-1A=I
矩阵可逆的充要条件：与I等价→初等行变换法求逆矩阵
逆矩阵求解线性方程组
Ax=B
↓
A-1Ax=-1b
↓
x=-1b
二、行列式
余子式（Mij）：去掉i行j列的行列式
代数余子式（Aij）：(-1)i+jMij
对于三角行列式，其值等于对角线乘积
变换
D=DT
对换改变正负号→有两行/列相等的行列式为0
行/列数乘
倍加（结果不变）
克拉默法则
系数行列式（D）：线性方程组的系数构成的行列式
如果线性方程组D≠0，则其有唯一解且xn=Dn/D，Dn是将D第i列元素替换为常数项
推论：如果齐次线性方程组D≠0，则其只有0解
齐次线性方程组有非零解的充要条件是D=0
矩阵A可逆的充要条件是det(A)≠0
伴随矩阵：有矩阵A的代数余子式组成的矩阵A*={Aij}
如果矩阵A可逆，则A-1=A*/det(A)
三、向量空间
对于n为向量构成的集合V，对其中任意两个向量满足：
①a+b∈V
②ka∈V,k∈R
则称V是向量空间
平凡子空间：{0}和V本身
向量组的线性无关
k1a1+···+kmam=0仅存在零解，则称向量组a1,···,am线性无关。若两向量组可以相互表示，则称其等价。
等价性质
自反性
对称性
传递性
极大线性无关部分组：向量组内可以线性表示向量组内任意向量，且自身线性无关的部分组
秩
n阶子式：从矩阵中提取的n阶行列式
矩阵的秩：R(A)=r。r阶子式是矩阵A最高阶不为0的子式
满秩矩阵：R(A)=n
向量组的秩：该向量组的极大线性无关组所含向量个数
矩阵的秩等于其行列向量组的秩
极大线性无关组的求法
使用列向量组构造矩阵
对矩阵进行初等行变换
存在首元的向量组成的向量组即是
向量空间的基：线性无关且可以表示空间V内任意向量的向量组
向量空间的维数：r=dim(v)=基数
Span{a1,···,am}：由向量a1,···,am生成的线性空间
确定一个线性空间维数：确定生成该线性空间的向量极大线性无关组数量
空间中的每个向量对于确定的基都有唯一线性表示法，称为该向量在这组基下的坐标。求一向量在一组基下的坐标，可令该向量和基的列向量组成增广矩阵，进行初等行变换得到阶梯矩阵（显然此时矩阵左侧必为单位矩阵），矩阵最后一列即为向量在该基下坐标。
线性方程组解的判别定理
m×n的齐次线性方程组有非零解的充要条件是其系数矩阵的秩R(A)<n，若R(A)=n则只有零解。
m×n的非齐次线性方程组有解的冲要条件是R(A)=R(A|b)，且若R(A)=R(A|b)=n，则有唯一解，若R(A)=R(A|b)<n，则有无穷解
解向量：齐次线性方程组的解构成的向量
解空间：所有解向量构成的线性空间
基础解系：解向量的一个极大线性无关组
m×n的齐次线性方程组Ax=0，若R(A)r<n，则其基础解系由n-r个向量组成
基础解析求法
对系数矩阵进行初等行变换
除首元位置的未知量移到右侧，称为自由未知量
自由未知量依次取1得到基础解系
方程组通解为该基础解析线性组合
对于非齐次方程组，对增广矩阵进行初等行变换，令所有自由未知量取0得到特解
向量内积（<x,y>）：点乘
向量的模：向量内积的平方根
单位向量：模为一的向量
向量单位化：一个向量除以自身模
向量正交：内积为0的两个向量
正交向量组：两两正交的向量组
标准正交基：都是单位向量的正交向量组
求得标准正交基
施密特正交化：β1=α1, β2=α2-<β1,α2>β1/<β1,β1>, β3=α3-<β1,α3>β1/<β1,β1>-<β2,α3>β2/<β2,β2>,······
单位化
正交矩阵：ATA=I。矩阵正交冲要条件为行/列向量都是单位向量且两两正交。
※ 秩
满秩：可完整表示
↓
首元
四、矩阵的特征值与特征向量
对于方阵A，如果存在数λ和非零向量ξ，使得Aξ=λξ，则称λ为A的特征值，ξ为对应该特征值的特征向量
特征向量求法
特征向量定义式等价于(λI-A)ξ=0，即特征向量是该齐次线性方程组的非零解。齐次线性方程组有非零解的充要条件是det(A)=0，因此特征值是det(λI-A)=0的根
对于每个特征值，求出对应齐次线性方程组的基础解系
特征值性质
tr(A)=λ1+···+λn
det(A)=λ1×···×λn
相似矩阵
若有B=S-1AS，则称矩阵A与B相似，记作A~B。相似关系也为等价关系。若n阶矩阵A与对角矩阵Λ=diag(λ1,···,λn)相似，则λ1,···,λn是矩阵A的n个特征值。若矩阵A与对角矩阵Λ相似，则称矩阵A可对角化，n阶矩阵可对角化的充要条件是有n个线性无关的特征向量（n个互异特征值）
矩阵对角化通用方法
求出矩阵所有互异特征值以及对应这些特征值的特征向量
用得到的特征列向量构造可逆矩阵S
有Λ=S-1AS
实矩阵对角化方法
实矩阵都可对角化，可通过构造正交矩阵完成
求出A的所有特征值，特征向量
将特征向量正交化并单位化
用正交单位特征向量构造矩阵Q
有Λ=QTAQ
五、二次型
二次型：含有n个变量的二次齐次多项式称为n元二次型
二次型可用矩阵乘法表示为：f(x)=xTAx，其中对称矩阵A称为该二次型的矩阵，该矩阵的秩称为二次型f(x)的秩
线性变换
形如x=Cy的变换，若C是可逆矩阵，则称该变换为可逆线性变换，若C是正交矩阵，则称该变换为正交线性变换。若利用一个可逆线性变换x=Cy，将二次型f(x)=xTAx化为g(y)=x
yTBy，则称这两个二次型等价，且有B=CTAC，称矩阵A与B合同。
标准型：只有平方项的二次型，即为为二次型矩阵寻找对角矩阵。
化二次型为标准型的方法
配方法 依次配方/创造平方项配方
任一二次型矩阵都可以通过可逆线性变换化为标准型→任一实对称矩阵都与一个对角矩阵合同
规范二次型
规范型：g(y)=y1^2+···yp^2-y(p+1)^2-···-yr^2。其中正平方项数p称为正惯性指数，负平方项数r-p称为负惯性指数，二者之差2p-r称为符号差
任一实二次型都可经可逆线性变换化为规范形
正定二次型
n元二次型为正定二次型的充要条件是其正惯性指数为n，显然其二次型矩阵应与单位矩阵合同
顺序主子式：n阶矩阵A前k行k列构成的k阶行列式为A的k阶顺序主子式
矩阵A正定的充要条件是A的全部顺序主子式大于0